(http://www.sizinti.com.tr/img/spotimg/408/5714.jpg)
Geceleri gökyüzüne bakıp yıldızların sayısını düşünen bir kedi hayal edebiliyor musunuz? Veya taşıdığı bir danenin en fazla kaç parçaya bölünebileceğini hesap eden bir karınca... Hâlbuki insan, en eski zamanlardan beri sonsuzla meşgul olmuş, sonsuzu tasavvur etmiş, sonsuzu tanımaya çalışmıştır.
Fizikî dünyamızda yüz yüze geldiğimiz gerçek bir 'sonsuz' yoktur aslında. İnsan tasavvurunun bir ifadesi olan matematik yönüyle, aklınıza ne gelirse gelsin, çok küçük sayılara tekabül ediyor. İster denizlerin kumları, isterse gökteki yıldızlar olsun, bunlar kâğıt üstünde çok küçük sayılardır. İnsan, diğer mahlûkattan farklı olarak, muhatap olduğu fizikî dünyayı çok aşan, onunla açıklanamaz boyutlarda, sonsuz tasavvurları ortaya koymuştur. Mevzuyla alâkalı olarak Bediüzzaman Hazretleri de mealen, hayvanların hissiyatları sınırlıdır, yaratılıştan gelen bir kayıt altındadır. Hâlbuki insanın her hissi, hadsiz bir mesafede dolaşır. Kendi içinde sınırsız yönelim ve açılımlara sahiptir. Çünkü insan, Kâinatın Yaratıcı'sının isim ve sıfatlarının sonsuz tecellilerine bir ayna olduğu için potansiyel eğilimlerine nihayetsiz bir istidat verilmiş, demektedir.
Sayılar büyüdükçe, meselâ üslü sayılar, matematik niceliklere yeni bir boyut kazandırmıştır. On milyar, yani 10.000.000.000 yerine 1010 şeklinde kısaca ifade edebiliyoruz. 1011 yani yüz milyar; 1012 yani bir trilyon, derken kısa sürede, daha 10'lu üslerde bildiğimiz çoklukların sınırını aşıyoruz. Saniyede bir sayı saysanız, bir trilyona ulaşmanız 30 bin yıldan fazla sürer. Hâlbuki bu, 'hel min mezid' (daha yok mu) diyen insan zihni için, çok küçük bir sayı. İnsan vücudunda 100 trilyon (1014) kadar hücre olduğu tahmin edilmektedir (bunun sayıca çoğunluğunu, genelde sindirim sisteminde yaşayan bakteriler oluşturmaktadır). Dünyada 7 milyar (7x109) insan olduğunu farz edersek, bütün insanlardaki hücre sayısı 7x1023 rakamına ulaşmaktadır. Bu muazzam çokluk, matematik ifadesiyle çok mütevazı bir sayı olarak kalmakta ve sonsuzluk hissiyle donatılan insan hayali çok daha ötelere uzanabilmektedir.
Üslü sayılar bu şekilde 1080'lere vardığında, bilinen fizikî varlığın sınırlarına dayanılmış olmaktadır; çünkü bazı hesaplara göre, kâinatta 1080 adet atom altı tanecik olduğu ileri sürülmektedir. Dünya'nın bütün sahillerindeki kumların sayısı 1021'lerde, teleskopla görülebilen yıldızlar 1023'lerde, insan vücudundaki atomlar ise 1028'lerde kalmıştır. Bu tahmini sayılar tamamen yanlış olsa, her bir atom altı tanecik için bir kâinat dolusu kadar daha tanecik eklense bile, sayımız en fazla 1060'a çıkmaktadır. Hâlbuki daha antik çağlarda 1040 sayısına isim veren insanlar olduğu bilinmektedir. İnsanın sonsuza açık müstesna yaratılışının bir emaresi olarak, kâinatın derinliklerine ulaşılmadığı daha o zamanlarda bile insanların, kâinatın sınırlarını aşan sayıları tasavvur ettiklerini görüyoruz. Bu küçük detayda bile adeta insan fıtratı, bu sonlu dünyadan daha ötesi için yaratıldığını seslendirmektedir.
Matematikçiler, satranç oyunundaki mümkün olan pozisyonlardan, kara deliklerle ilgili bazı ihtimal hesaplarına kadar, birçok yerde bu ve benzeri sayıları kullanmaktadır. Bu tür sayılar maddî çokluklarla alâkalı değil, daha çok kombinasyonlarla ilgili problemlerde ortaya çıkmaktadır. Mesela 40 karakterden oluşan bir şifre düşünelim. Her karakterin bir byte olduğunu kabul edersek, 2320 (yaklaşık 2x1096) farklı şifre oluşturulabilir. Bir bilgisayar saniyede 1 milyar şifre denese bile, bütün alternatifleri denemesi 1080 yıl kadar sürecektir ki bu tasavvurları tamamen aşan bir süredir. Bir açıdan bu büyüklükler, 40 karakterlik bir şifrecik misâlinde görüldüğü gibi, insanın kâinat karşısındaki maddî küçüklüğünden belki daha öte, asıl ilim ve hesap yönünden ne kadar aciz ve küçük olduğunu ortaya koymaktadır. Kur'an-ı Azîmüşşan'da beyan buyurulan "Andolsun, Allah onları ilmiyle kuşatmış ve tek tek saymıştır." (Meryem, 94) mealindeki ifade, bu aşkın büyüklükler perspektifinde ayrı bir derinlik kazanmaktadır. Çünkü günümüzde insanlığın çözümsüz kabul ettiği matematik problemlerinin (bilgisayar biliminde NP-complete tabir edilen) hemen tamamı, alternatif ihtimallerin sayılmasıyla çözülebilen, fakat alternatif ihtimallerin insanın, hatta kâinatın sınırlarını aştığı problemlerdir.
Daha iki basamaklı üslerle fizikî dünyayı aşan insan zihni, matematikte çok daha yüksek sayıları ifade etmeye devam etmiş, yeni ifade usulleri geliştirmiştir. Yukarıdaki üslü sayıların bir sonraki aşaması, üslerin zincirleme uzatılmasıdır. Mesela 101010 sayısı (googolplex), 10 üzeri 10100'e, yani 1'den sonra 10100 adet (iddiaya göre kâinattaki taneciklerden daha fazla) sıfır yazarak elde edilen bir sayıya eşittir. Üsler yukarıya doğru uzadıkça, sayıların artışı da çok daha hızlanmaktadır. Çarpma işleminin zincirleme tekrarı üs alma olarak ifade edildiği gibi (2x2x2=23), zincirleme üs alma işlemi de yeni bir gösterimle ifade edilmeye başlanmıştır: .222=2↑↑3 Çift oktan önceki sayı, üssü alınan sayıdır. Çift oktan sonraki sayı ise, ilk sayının kaç kere üs olarak yazıldığını gösterir. Zincirleme üs almaya en yukarıdan başlanarak önce 2 üzeri 2, yani 4 bulunur. Sonra da 2 üzeri 4, yani 16 bulunur. Bu gösterimde çok daha hızlı bir şekilde büyük sayılara ulaşılmaktadır (Şekil 1).
(http://www.sizinti.com.tr/images/konular/408/1.jpg)
Meselâ iki tane 3'ü üst üste yazdığımızda: 3↑↑2=33=27 olurken, üç tane 3 üst üste olduğunda sonuç birden 7 trilyonu aşmaktadır: 3↑↑3=333=3(33)=327=7.625.597.484.987 . Dört tane 3 üst üste yazıldığında, 10'un yanında trilyonlarca sıfırla ifade edilecek bir sayı ortaya çıkmaktadır: 3↑↑4=33(33)=3(327)=37.625.597.484.987. 3↑↑5'e gelindiğinde – ki 3 ve 5 gibi iki küçük sayıdan oluşan bir ifadedir – artık önceki gösterimleri çok aşan sayılara ulaşılmaktadır. Matematikçiler, daha da büyük sayıları ifade etmek için Graham ve Gödel sayıları gibi daha başka ifade şekilleri de geliştirmiş, sonsuza doğru arayışlarına devam etmişlerdir.
Sayılar ne kadar büyüse de, mutlak sonsuza hep uzak kalmaktadırlar. Yukarıda anlatılan metotlarla ifade edilen, tasavvurları aşan en büyük sayılar bile sonsuz değildir; hatta sonsuzun yanında bir hiçtir.
Sonsuz aslında insan idrakini ve hayalini aşan bir kavramdır. Fakat yine de sonsuz kavramı, matematikte tartışmasız bir yer edinmiştir. Sonsuz, saymakla ulaşılamayacak bir şeydir. Düşünebildiğiniz en büyük sayıları ekleseniz, çarpsanız, kâinattaki taneciklerin sayısını, o sayı sayısınca çarpsanız, üssünü alsanız, bunu yıldızların ömrü kadar tekrarlasanız... Her ne yaparsanız yapın, netice sonsuz değildir. Hangi sayı aklınıza gelirse gelsin, o sonsuz değildir. Sonsuz, ulaşılamayan noktanın adıdır. Meselâ, paralel doğrular hiçbir zaman kesişmezler. Ama geometride, 'paralel doğrular sonsuzda kesişir' denir. Sonsuz, olmazların olduğu bir noktadır. Dünyada hem kendisi hem de tanıdığı ve gördüğü her şey sonlu ve fânî olan insanın bu imkânsız görünen kavramı kabullenmesi, hem de hiç tartışmasız ve söz birliği içinde bir sabit hakikat olarak kabullenmesi bile, ibrete değer bir durumdur. Bu, hem insanın sonsuza bakan konum ve vazifesi, hem de bu fânî varlığın arkasındaki sonsuzluk mefhumu hakkında, gören gözlere çok şeyler ifade etmektedir.
Büyük sayılarla yetinmeyen matematikçiler, mutlak sonsuzluğu kavrama yolunda da çok mesai harcamış, bilhassa son bir kaç yüz yılda bu yolda çok ilginç teoriler geliştirmişlerdir. Evvelen, sonsuzluk kavramlarının da derece derece olduğu fark edilmiştir. Meselâ, 1'den başlayıp sonsuza kadar giden sayılar düşünelim. Bu sayılar, sonsuz elemanı olan bir küme oluşturmaktadır (Şekil–2).
(http://www.sizinti.com.tr/images/konular/408/2.jpg)
Şimdi de, 2'den başlayıp sonsuza giden başka bir sayı dizisi düşünelim. Bu iki diziden hangisinde daha çok sayı vardır? İkisi de sonsuz sayıda elemana sahiptir. Ama görünüşte birincide, ikincide olanların aynısı ve fazladan bir eleman (1 sayısı) bulunmaktadır. İşte, sonlu sayılar ve kümeler için geçerli olan ve 'sağduyu' veya 'sezgi' dediğimiz normal anlayışla kavranan kurallar, sonsuz karşısında manasız ve yetersiz kalmaktadır. Bu durum karşısında matematikçiler, farklı 'sonsuzlar'ı karşılaştırmada, 'bire bir eşleştirilebilme prensibini' ortaya atmışlardır. Meselâ yukarıdaki iki kümenin elemanları bire bir eşleştirilebilir. 1'i 2'ye, 2'yi 3'e, 3'ü 4'e, ... vs. sonsuza kadar devam eden belli bir kuralla, birinci kümenin her elemanına karşılık ikinci kümeden tek ve belli bir eleman bulabilirsiniz. Öyleyse bu iki küme 'aynı seviyeden' sonsuzdur denir.
Sonsuzun başka bir seviyesi, sayılamayan sonsuzdur. Meselâ bir doğru parçasındaki noktalar sonsuz sayıdadır, üstelik sayılamazlar da. Birden sonsuza giden sayılar sonsuz sayıda olsa da, bunları birer birer saydığınız tasavvur edilebilir (her ne kadar bu sayma hiç bitmese de...). Ama doğru üzerindeki sürekli noktaları saymak bile tasavvur edilemez. Matematikçiler sayılamazlık kavramını bu sezgiye dayalı tarifin ötesinde net tanımlarla tespit etmeye çalışmışlardır. Meselâ, dikkate değer bir fark şudur: Sayı doğrusu üzerinde seçtiğiniz iki nokta arasında, birbirlerine ne kadar yakın olurlarsa olsunlar, sonsuz sayıda başka noktalar vardır. O ikisinin ortasında bir nokta seçseniz, yine aralarında sonsuz nokta vardır. Hâlbuki birden sonsuza sayarken, iki sayının ortasında belli sayıda eleman vardır. Yani ikinci seviye sonsuzda, sadece toplamda değil; her parçada bir sonsuzluk, yani bir bakıma sonsuz bir yoğunluk bulunmaktadır.
Sonlu nesneleri anlamada kullandığımız kıstaslara tâbi olmadığı artık açıkça görülen sonsuz kavramını, daha doğru tanıyabilmek için buna benzer çok çalışmalar yapılmış, teoriler geliştirilmiştir. İnsan tasavvuru bu konuda çok detaylı fikirler üretmiş, hattâ sonsuz hakkında ilk bakışta mantığa ters gibi görünen pek çok neticeye ulaşmıştır.
Sınırlı bir dünyada, kısacık bir hayat yaşayan insan ne için bu kavramlarla uğraşmaktadır? Anlaşılıyor ki, insana verilen cihaz ve donanımlar sadece bu fânî hayat ve sınırlı dünya için değildir. Zihnî ve hissî donanımıyla insan, sonsuza talip olduğunu, sonsuza şerefli bir muhatap olduğunu bu matematik çalışmalarıyla da haykırmaktadır. Bütün canlılardan farklı olarak, bu fânî dünyada sonsuzluğu tanıma ve anlama gayretleri, insanoğlunun, diğer canlılar gibi sadece yiyip içerek bir ömür doldurmak için bu dünyaya gönderilmediğinin açık bir delilidir. İnsanın asıl vazifesi, içindeki muhteşem kâinatın sırları üzerinde düşünmek, her bir sır üzerinden marifete bir kapı açmak ve böylece bu sonlu âlemde iyi bir kul olup sonsuz olanı kazanmaya çalışmaktır.
Kaynaklar
- Bediüzzaman, 26. Mektup, 3. Mesele
- Rowan Hooper, "People Are Human-Bacteria Hybrid", WIRED, 10 Kasım 2004.
- "Humans Have Ten Times More Bacteria Than Human Cells", Science Daily, 8 Nisan 2011
- J.C.Villanueva, "Atoms in the Universe", Universe Today, 30 Temmuz 2009
- Georges Ifrah, The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer , Wiley, 1999.
- Michael Garey and David Johnson, Computers and Intractability - A Guide to the Theory of NP-completeness. Freeman, 1979.
- Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 59-62, 1996.
- Edward V. Huntington, The Continuum and Other Types of Serial Order. Dover Publications, 2003.